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アキレスと亀
この記事、結構長くなりそうなので、申し訳ないんですがコメ返しは次回にさせてください。

え~っと、今日は学校の校内試験で、とある会社の試験を受けてきました。
その試験問題の中に、面白いものがあったので、ちょっと書いてみたいと思います。

記事のタイトルにも書きましたが、「アキレスと亀」という有名な(神炎鳳は知らなかったけど有名らしい)パラドックスについての話でした。
ちなみに、アキレスと亀はこんな話です↓

(注:ググって出てきた文章を神炎鳳なりにアレンジして載せています。本物の文章とは違います)

あるところに、アキレスという男と1匹の亀がいました。
ある日、アキレスと亀は徒競走をすることになりました。
しかし、まともにやったのではどう考えてもアキレスが勝ってしまいます。
そこで、亀はアキレスにある提案をしました。

亀「ボクは走るのが苦手だから、きみより少し先からスタートするけど、いいよね?」

アキレスはもちろんOKしました。
いくらハンデを与えたといっても、相手は亀。
負けるはずがありません。
ところが、亀はこんなことを言い出しました。

亀「これでボクの勝ちは決まったね」

アキレスは驚いて言いました。

アキレス「なぜだ?確かにお前にハンデは与えたが、その程度の距離ならすぐに追いつくぞ」

亀「だって考えてごらん。きみが進む間に、ボクだって進んでるんだよ。つまり、今ボクのいる位置にきみが来る頃には、ボクはさらに前にいるってことだ。きみがさらに進む頃には、ボクもさらに進んでいる。この繰り返しがずっと続くから、きみは絶対にボクを抜くことはできないよ」

アキレスは少し考えてみましたが、確かに亀の言うとおりです。
というか、自分が亀に負けるわけがないと頭ではわかっているのですが、亀の言っていることも一見すると筋が通っているので反論することができません。

アキレス「そんなバカな!俺は亀にも勝てないのか!」

結局、アキレスはレースを始める前から、自分に勝機がないと思い込み、がっくり落ち込んでいたそうです。


さて、よくよく考えてみるとおかしな話ですよね。
では、どうおかしいのか、説明できますか?

・・・というのが、今日の問題でした。
いや、難しいけど面白いですね。
皆さんは説明できますか?
神炎鳳はできなかったぜ・・・。
ということで、気になった神炎鳳は、ちゃんと調べてまいりました。
ググってみた結果、非常に見やすくまとめてあるサイト様をいくつか発見できましたので、それらのサイト様を参考に、追記にまとめてみます。
はっきり言いまして、めっちゃくちゃ難しい話です。
しかも、書いてる神炎鳳すらちゃんと理解してはいないので、上手く書けるかどうかわかりません。
それでもいいよ、という方は追記へどぞ~。
さて、それでは、アキレスと亀の動きを考えてみましょう。
まず、初期状態でのアキレスと亀の間の距離を10とします。
そして、アキレスは1分後に現在の亀の位置に到達するとします。
なお、亀はアキレスが1分かけて進む距離を、2分かけて進むと考えることにします。

さてさて、ここでちょっと計算です。
速さと距離と時間の話(小学校で習う話だよね)で考えると、アキレスは2分後に亀に追いつきます。

初期配置、つまり1回目にアキレスが亀のいた位置にたどり着くには、距離が10なので1分かかります。
そこから亀のいる場所までの距離は半分の5に減っています(亀の速さがアキレスの半分しかないからです)ので、2回目はたどり着く時間も半分になります。
1/2分・・・つまり30秒ということですね。
これと同様に回数を増やしていくと、時間は1/4分、1/8分、1/16分・・・・・という感じで、亀のいた場所にたどり着くまでにかかる時間はどんどん半分に・・・つまりは1/2倍ずつになっていきます。
ここまで、オッケー?

さて、上のことから言えることは、このまま行けば確実にアキレスは亀に追いつく、ということですね。
だって、どんどん時間が半分ずつになっていくのですから、結局は追いつくに決まっています(本当は超難しい計算式があるんだけど、神炎鳳自身もまだ理解していないので、ここら辺は常識的考えでお願いします)。
しかし、亀が初めに言っていたことも、確かに筋が通っているように見えます。
これはどういうことかというと、亀が初めに言ってた「絶対に抜くことができない」というのは、どんなに回数を増やしても追いつけないということで、どんなに時間がたっても追いつけないということではないわけです。
確かに、回数をいくら増やしても追いつくことはできません。
アキレスが進む間に、亀も少なからず前進しているからです。
しかし、『時間』の概念を加えて考えた場合、亀がアキレスの速度以下の速度で進んでいる限り、確実に追いつき、追い抜くことができます。

結局、アキレスがなぜ勘違いをしてしまったかというと、この「1回目は・・・、2回目は・・・」という作業(この作業自体は無限に行える)と、追いつくための時間が無限にかかる、というふたつの『無限』を混ぜて考えてしまい、「追いつくのに無限の時間がかかる=絶対に追いつけない」という勘違いをしてしまったのです。

「いくら作業が無限に続くといっても、それに必要な時間は無限ではない」というのが「アキレスと亀」というパラドックスの答えになる、というわけです。

ふぅ、こんな感じです。
本当はもっと詳しく書くこともできたっちゃできたんですが、それをやっちゃうとえらく数学的な話になり、神炎鳳も含めて一般人には難しすぎる内容でしたので書かないでおきます。
神炎鳳も、書いてて何がなんだかわからなくなってきそうだったので。
さらに詳しく調べたい、という人は、是非ググってみてください。
優良サイト様がたくさんありましたよ。

それでは、今回はこの辺で。
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【 2008/06/03 23:36 】

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コメント
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こんにちは。
今週は土曜日まで中間テストなので帰りが早いです。この時間に投稿できたのは学校サボったわけじゃありません(笑

この「アキレスと亀」って難しい話ですね……
えらく数学的で最初、心理的や推理的な話だと思って考えた僕は頭が混乱してしまいました。
答えを読んでも
「えらく難しいなぁ……」
としか言葉がでません。

たぶんこの手の話を読んですぐに
「わかった!」
と云える人はエジソンやアインシュタインぐらいの脳みそを持っていないと難しいかもしれません。
全然関係ないことですが、この話ができたのはギリシャかローマではないかと思います。
「アキレス」という名前がギリシャらしく、内容も数学的だから、というのが僕の見解です。


それでは、
ルト * URL [編集] 【 2008/06/04 13:30 】
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